Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона

  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  9
 10
 11
 12
 13
 14
 15
 16
 17
 18
 19
 20
 21
 22
 23
 24
 25
 26
 27
 28
 29
 30
 31
 32
 33
 34
 35
 36
 37
 38
 39
 40
 41
 42
 43
 44
 45
 46
 47
 48
 49
 50
 51
 52
 53
 54
 55
 56
 57
 58
 59
 60
 61
 62
 63
 64
 65
 66
 67
 68
 69
 70
 71
 72
 73
 74
 75
 76
 77
 78
 79
 80
 81
 82
 83
 84
 85
 86
 87
 88
 89
 90
 91
 92
 93
 94
 95
 96
 97
 98
 99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
/* !!! Комментарии читать от самого начала !!!
Вывод программы для первого примера:
1.000000 2.000000 3.000000 4.000000 5.000000
0 | 31.431129 | -1.324153 0.568897 2.816246 2.508671 4.041368
1 | 1044.339773 | -3.052794 4.410319 2.138386 1.898580 3.141691
2 | 1303.068170 | -8.413972 7.737024 1.730171 2.232609 2.548983
3 | 311.458259 | -9.100660 8.718571 1.363167 2.127044 2.293810
4 | 43.341665 | -11.155219 10.991565 1.379940 2.089736 2.351151
5 | 4.869213 | -13.602364 13.525094 1.428307 2.038507 2.424115
6 | 0.162434 | -15.217299 15.162836 1.451038 2.015207 2.455942
7 | 0.005482 | -15.495355 15.442529 1.453675 2.012520 2.459493
8 | 0.000003 | -15.499838 15.447004 1.453703 2.012492 2.459530
Вывод программы для второго примера:
1.000000 2.000000 3.000000 4.000000 5.000000
0 | 72.540336 | -5.201800 4.039890 -1.775489 5.267399 2.746638
1 | 24.128884 | -3.899202 4.563220 -5.048199 6.714181 1.554229
2 | 9725.267844 | 98.620678 0.672163 -95.845455 -1.117386 0.764380
3 | 2886.109052 | 49.206746 1.121088 -58.121635 10.123801 -11.767166
4 | 702.004878 | 24.034689 1.350390 -27.325720 4.270641 -6.065580
5 | 183.107372 | 12.475573 1.453169 -12.704813 1.106070 -3.120957
6 | 52.023298 | 7.189081 1.483644 -5.949651 -0.393074 -1.767286
7 | 13.875151 | 3.716385 1.435523 -1.985946 -0.835962 -1.356746
8 | 3.154744 | 2.561040 1.388946 -0.174877 -1.445109 -1.355639
9 | 0.800428 | 1.906753 1.269890 -0.071340 -0.775302 -1.359990
10 | 0.217869 | 1.721608 1.203555 0.320162 -0.915325 -1.368921
11 | 0.045946 | 1.582568 1.165228 0.501914 -0.919710 -1.370843
12 | 0.005623 | 1.527477 1.145596 0.569300 -0.912373 -1.371450
13 | 0.000191 | 1.517124 1.141538 0.582346 -0.911008 -1.371547
14 | 0.000000 | 1.516733 1.141381 0.582843 -0.910956 -1.371551
*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <time.h>
// SQR(X) == X*X, т.е. это равно X^2
#define SQR(X) ((X)*(X))
#define QUB(X) ((X)*(X)*(X))
/* число переменных и функций (нумерация переменных и функций будет вестись с нуля) */
#define N 5
/* число переменных и функций (нумерация переменных и функций будет вестись с нуля) */
#define EPS 0.00005
#if 1 // если тут 1, то будет первый пример, если 0, то второй
/* функции от N переменных (считается что при подстановке правильного решения системы все они равны нулю) */
double f0(double x[N]) { return SQR(x[0] + x[1]) + SQR(x[2] + x[3]) - 12.0173; }
double f1(double x[N]) { return QUB(x[0]*x[0] - x[1]*x[1]) + QUB(x[2] - x[4]) - 3.3533541; }
double f2(double x[N]) { return SQR(cos(x[0] + x[1])) + SQR(sin(x[3] + x[4])) - 1.9405391; }
double f3(double x[N]) { return exp(x[0]) - SQR(x[2]) + SQR(x[3]) + SQR(x[4]) - 7.9861585; }
double f4(double x[N]) { return log(SQR(x[1]) + SQR(x[2]) + SQR(x[3])) - 0.5 * exp(x[4]) + 0.3493252; }
/* их производные 25 штук! (5 производных для каждой из 5 функций) */
double f00(double x[N]) { return 2 * (x[0] + x[1]); }
double f01(double x[N]) { return 2 * (x[0] + x[1]); }
double f02(double x[N]) { return 2 * (x[2] + x[3]); }
double f03(double x[N]) { return 2 * (x[2] + x[3]); }
double f04(double x[N]) { return 0; }
double f10(double x[N]) { return 6 * x[0] * SQR(x[0]*x[0] - x[1]*x[1]); }
double f11(double x[N]) { return -6 * x[1] * SQR(x[0]*x[0] - x[1]*x[1]); }
double f12(double x[N]) { return 3 * SQR(x[2] - x[4]); }
double f13(double x[N]) { return 0; }
double f14(double x[N]) { return -3 * SQR(x[2] - x[4]); }
double f20(double x[N]) { return -2 * cos(x[0] + x[1]) * sin(x[0] + x[1]); }
double f21(double x[N]) { return -2 * cos(x[0] + x[1]) * sin(x[0] + x[1]); }
double f22(double x[N]) { return 0; }
double f23(double x[N]) { return 2 * sin(x[3] + x[4]) * cos(x[3] + x[4]); }
double f24(double x[N]) { return 2 * sin(x[3] + x[4]) * cos(x[3] + x[4]); }
double f30(double x[N]) { return exp(x[0]); }
double f31(double x[N]) { return 0; }
double f32(double x[N]) { return - 2 * x[2]; }
double f33(double x[N]) { return 2 * x[3]; }
double f34(double x[N]) { return 2 * x[4]; }
double f40(double x[N]) { return 0; }
double f41(double x[N]) { return 2 * x[1] / ( SQR(x[1]) + SQR(x[2]) + SQR(x[3]) ); }
double f42(double x[N]) { return 2 * x[2] / ( SQR(x[1]) + SQR(x[2]) + SQR(x[3]) ); }
double f43(double x[N]) { return 2 * x[3] / ( SQR(x[1]) + SQR(x[2]) + SQR(x[3])); }
double f44(double x[N]) { return - 0.5 * exp(x[4]); }
/* массив, в котором будет решение (задано начальное приближение) */
double x[N] = {
0.7,
2.3,
2.3,
-0.7,
5.7,
};
#else // другой пример
double f0(double x[N]) { return x[0] + x[1] + x[2] + x[3] - 2.33; }
double f1(double x[N]) { return SQR(x[0]) + 2 * x[1] * sin(x[2] + x[4]) - 0.68098912; }
double f2(double x[N]) { return x[0] * cos(x[1]) + atan(SQR(x[3])+ SQR(x[4])) - 1.8488879; }
double f3(double x[N]) { return sqrt(SQR(x[0]) + SQR(x[2])) * exp(x[3]/10) + 10 * SQR(x[4]) - 20.294897; }
double f4(double x[N]) { return exp( -0.5 * SQR(x[1] + x[2]) ) - log( SQR(cos(x[3] + x[4])) ) - 1.0781266; }
double f00(double x[N]) { return 1; }
double f01(double x[N]) { return 1; }
double f02(double x[N]) { return 1; }
double f03(double x[N]) { return 1; }
double f04(double x[N]) { return 0; }
double f10(double x[N]) { return 2 * x[0]; }
double f11(double x[N]) { return 2 * sin(x[2] + x[4]); }
double f12(double x[N]) { return 2 * x[1] * cos(x[2] + x[4]); }
double f13(double x[N]) { return 0; }
double f14(double x[N]) { return 2 * x[1] * cos(x[2] + x[4]); }
double f20(double x[N]) { return cos(x[1]); }
double f21(double x[N]) { return -x[0] * sin(x[1]); }
double f22(double x[N]) { return 0; }
double f23(double x[N]) { return 2 * x[3] / ( SQR( SQR(x[3]) + SQR(x[4]) ) + 1 ); }
double f24(double x[N]) { return 2 * x[4] / ( SQR( SQR(x[3]) + SQR(x[4]) ) + 1 ); }
double f30(double x[N]) { return exp(x[3]/10) * x[0] / sqrt(SQR(x[0]) + SQR(x[2])); }
double f31(double x[N]) { return 0; }
double f32(double x[N]) { return exp(x[3]/10) * x[2] / sqrt(SQR(x[0]) + SQR(x[2])); }
double f33(double x[N]) { return sqrt(SQR(x[0]) + SQR(x[2])) * exp(x[3]/10) / 10; }
double f34(double x[N]) { return 20 * x[4]; }
double f40(double x[N]) { return 0; }
double f41(double x[N]) { return - (x[1] + x[2]) * exp( -0.5 * SQR(x[1] + x[2]) ); }
double f42(double x[N]) { return - (x[1] + x[2]) * exp( -0.5 * SQR(x[1] + x[2]) ); }
double f43(double x[N]) { return 2 * tan(x[3] + x[4]); }
double f44(double x[N]) { return 2 * tan(x[3] + x[4]); }
double x[N] = {
0.7,
0.3,
1.6,
-0.4,
1.3,
};
#endif
/* массив перечисленных функций */
double (*f[N])(double *) = {
f0,
f1,
f2,
f3,
f4,
};
/* массив производных этих функций */
double (*ff[N][N])(double *) = {
{ f00, f01, f02, f03, f04 },
{ f10, f11, f12, f13, f14 },
{ f20, f21, f22, f23, f24 },
{ f30, f31, f32, f33, f34 },
{ f40, f41, f42, f43, f44 },
};
/* массивы с результатами текущего приближения */
double fx[N];
double ffx[N][N];
/* обратная матрица к ffx */
double ffx1[N][N];
/* невязка */
double nevyazka;
/* вывод текущих значений x[i] */
void printX()
{
for (int i = 0; i < N; i++)
printf("%10f ", x[i]);
printf("\n");
}
/* печать информации о текущей итерации: шаг невязка x1 x2 ... xN */
void print(int t)
{
printf("%3i | %12f | ", t, nevyazka);
printX();
}
//
/* MAIN функция (решение задачи) */
//
int main()
{
#if 1 // если нужно как-то иначе задать начальное приближение
srand(time(NULL));
for (int i = 0; i < N; i++)
x[i] = i+1;
// x[i] = 5.0 * (rand() / (double)RAND_MAX - 0.5);
#endif
// вывод текущих значений x[i]
printX();
printf("\n");
// основной итеративный цикл
for (int t = 0; t < 100; t++)
{
//
/* подсчет матриц с результатами текущего приближения */
//
// подсчет матрицы значений функции
for (int i = 0; i < N; i++) {
fx[i] = f[i](x);
}
// подсчет матрицы производных функции
for (int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = 0; j < N; j++) {
ffx[i][j] = ff[i][j](x);
}
}
//
/* подсчет матрицы обратной ffx (методом Гаусса) */
//
// зануляем массив
memset(ffx1, 0, N*N*sizeof(double));
// устанавливаем единички на диагонали будущей обратной матрице
for (int i = 0; i < N; i++)
ffx1[i][i] = 1;
double r;
// вычитаем i-ую строку из k-ой строки
for (int i = 0; i < N; i++)
{
// проверяем чтобы ffx[i][i] не был равен нулю
if (ffx[i][i] == 0) {
// если тут ноль, то ищем строку с ненулем в этом столбце
for (int p = i+1; p < N; p++) {
if (ffx[p][i] != 0) {
// если нашли нужную строку, то меняем строки i и p местами
for (int q = 0; q < N; q++) {
int t = ffx[i][q];
ffx[i][q] = ffx[p][q];
ffx[p][q] = t;
}
// поменяли строки? продолжаем алгоритм, прервав цикл
break;
}
}
}
// если замены нулевого элемента не было
if (ffx[i][i] == 0) {
// печатаем ошибку и...
printf("[!] Devizion by zero in 'Gauss method'\n");
// ... выходим из программы
return 1;
}
for (int k = 0; k < N; k++) {
// саму из себя строку нельзя вычитать
if (i == k) continue;
// вычисляем коэффициент вычитания
r = ffx[k][i] / ffx[i][i];
// вычитаем по очереди каждый элемент строки
for (int j = 0; j < N; j++) {
ffx[k][j] -= r * ffx[i][j];
ffx1[k][j] -= r * ffx1[i][j];
}
}
}
for (int i = 0; i < N; i++) {
// вычисляем коэффициент "нормализации" (предполагается, что i-ый элемент i-ой строки НЕ! равен нулю)
r = ffx[i][i];
// "нормализуем" строку матрицы
for (int j = 0; j < N; j++) {
ffx[i][j] /= r;
ffx1[i][j] /= r;
}
}
//
/* проверяем: единичная ли вышла матрица */
//
#if 0
for (int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = 0; j < N; j++) {
double dx = 0;
for (int k = 0; k < N; k++)
dx += ffx1[i][k] * ff[k][j](x);
printf("%10.2lf\t", fabs(dx));
}
printf("\n");
}
printf("\n\n");
#endif
//
/* вычисление следующего приблизижения x */
//
for (int i = 0; i < N; i++) {
// вычисляем i-ую строку произведения матриц ffx1 на fx
double dx = 0;
for (int k = 0; k < N; k++)
dx += ffx1[i][k] * fx[k];
// следующее значение x_i+1 равно x_i - dx
x[i] = x[i] - dx;
}
//
/* вычисление невязки */
//
nevyazka = 0;
for (int i = 0; i < N; i++)
nevyazka += SQR( f[i](x) );
nevyazka = sqrt(nevyazka);
//
/* вывод информации */
//
print(t);
//
/* вывод невязка ничтожна мала, то конец итерациям! */
//
if (nevyazka < EPS) {
break;
}
//
/* если вывод кривой, то выходим */
//
#if 0
if (isnan(nevyazka)) {
break;
}
#endif
}
return 0;
}