Кольцо многочленов над полем Значение многочлена Наибольший общий дели

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
1. Кольцо многочленов над полем. Значение многочлена. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида, линейное выражение НОД. Основная теорема арифметики для многочленов. Корни многочленов. Теорема Безу.
2. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен и его инвариантность. Определитель и след преобразования.
3. Линейная независимость собственных векторов, принадлежащих попарно различным собственным значениям. Алгебраическая и геометрическая кратность собственного значения. Условия диагонализуемости преобразования.
4. Приведение матрицы преобразования к треугольному виду. Теорема Гамильтона - Кэли (в случае разложимости характеристического многочлена на линейные множители).
5. Аннулирующие многочлены преобразования. Разложение пространства в прямую сумму корневых. Жорданова нормальная форма. Существование жордановой нормальной формы в случае одного собственного значения и в общем случае. Единственность жордановой нормальной формы. Минимальный многочлен линейного преобразования, его связь с жордановой нормальной формой.
6. Билинейные формы. Координатная запись билинейной формы. Матрица билинейной формы и еe изменение при замене базиса. Симметричные билинейные формы, их матрицы.
7. Квадратичные формы, их связь с симметричными билинейными формами. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Положительно определенные квадратичные формы. Индексы инерции квадратичной формы. Закон инерции. Метод Якоби приведения квадратичной формы к диагональному виду. Критерий Сильвестра.
8. Полуторалинейные формы в комплексном пространстве. Эрмитовы квадратичные формы. Приведение к каноническому виду. Закон инерции для эрмитовых квадратичных форм.
9. Евклидово и эрмитово пространства. Выражение скалярного произведения в координатах. Свойства матрицы Грама. Неравенство треугольника.
10. Ортонормированные базисы и ортогональные (унитарные) матрицы. Существование ортонормированных базисов. Изоморфизм евклидовых и эрмитовых пространств. Канонический изоморфизм евклидова пространства и сопряжјнного к нему.
11. Ортогональное дополнение подпространства. Ортогональное проектирование. Процесс ортогонализации ГрамаШмидта. Объем параллелепипеда.
12. Связь билинейных (полуторалинейных) форм и линейных преобразований в евклидовом (эрмитовом) пространстве. Преобразование, сопряженное данному. Его существование и единственность, его свойства.
13. Самосопряженные линейные преобразования. Свойства самосопряженных преобразований. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного линейного преобразования.
14. Ортогональные и унитарные преобразования, их свойства. Инвариантные подпространства малой размерности для преобразования вещественного пространства. Канонический вид унитарного и ортогонального преобразований. Полярное разложение линейного преобразования в евклидовом пространстве.
15. Приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к главным осям. Одновременное приведение пары квадратичных форм к диагональному виду.