TEX encoding UTF-8 Unicode documentclass a4paper 12pt article usepacka

  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  9
 10
 11
 12
 13
 14
 15
 16
 17
 18
 19
 20
 21
 22
 23
 24
 25
 26
 27
 28
 29
 30
 31
 32
 33
 34
 35
 36
 37
 38
 39
 40
 41
 42
 43
 44
 45
 46
 47
 48
 49
 50
 51
 52
 53
 54
 55
 56
 57
 58
 59
 60
 61
 62
 63
 64
 65
 66
 67
 68
 69
 70
 71
 72
 73
 74
 75
 76
 77
 78
 79
 80
 81
 82
 83
 84
 85
 86
 87
 88
 89
 90
 91
 92
 93
 94
 95
 96
 97
 98
 99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
% !TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[a4paper, 12pt]{article}
\usepackage[left=20mm, top=15mm, right=10mm, bottom=15mm]{geometry}
\usepackage[parfill]{parskip}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[14pt]{extsizes}
\usepackage{setspace,amsmath}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{ dsfont }
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[unicode]{hyperref}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{color}
\usepackage{minted}
\usepackage{caption}
\usepackage{array}
\newcolumntype{P}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1}}
\usepackage{cmap}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english, russian]{babel}
\usepackage{amssymb}
\begin{document}
\begin{titlepage}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
\end{center}
\vfill
\centerline{\large{Лабораторная работа №5. Вариант 8.}}
\centerline{\large{«Методы поиска условного экстремума»}}
\centerline{\large{по курсу}}
\centerline{\large{«Методы оптимизации»}}
\vfill
Студент группы ИУ9-81 \hfill Ковинько А.В.
Преподаватель \hfill Каганов Ю.T.
\vfill
\centerline{Москва, 2019}
\clearpage
\end{titlepage}
\newpage
\setcounter{page}{2}
\tableofcontents
\newpage
\section{Цель работы}
\begin{enumerate}
\item Изучение алгоритмов условной оптимизации.
\item Разработка программ реализации алгоритмов условной оптимизации.
\item Нахождение оптимальных условий решений для задач с учетом ограничений.
\end{enumerate}
\newpage
\section{Постановка задачи}
\textbf {Дано}: Функция Розенброка на множестве $R^2$:
\begin{equation*}
f(x) = \sum^{n-1}_{i=1}{[a(x_i^2 - x_{i+1})^2 + b(x_i - 1)^2] + f_0},
\end{equation*}
где
\begin{equation*}
a = 158, \quad b = 2, \quad f_0 = 40, \quad n = 2,
\end{equation*}
тогда функция $f(x)$ будет выглядеть следующим образом:
\begin{equation*}
f(x) = 158 * (x_0^2 - x_1)^2 + 2 * (x_0 - 1)^2 + 40
\end{equation*}
Функции ограничений:
\begin{equation*}
\begin{cases}
g_1(x_1, x_2) = x_1^2+x_2^2 - 10 \leq 0 \\
g_2(x_1, x_2) = -x_1 \leq 0 \\
g_3(x_1, x_2) = -x_2 \leq 0
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Найти условный экстремум методами:
\begin{enumerate}
\item Штрафных функций;
\item Барьерных функций;
\item Комбинированным методом штрафных и барьерных функций;
\item Модифицированных функций Лагранжа;
\item Проекции градиента.
\end{enumerate}
\item Найти все стационарные точни и значения функций, соотвестсвующие этим точкам.
\item Оценить скорость сходимости указанных алгоритмов.
\item Реализовать алгоритмы с помощью языка программирования высокого уровня.
\end{enumerate}
\newpage
\section{Исследование}
Найдем глобальные экстремумы функции
\begin{equation*}
f(x) = 158 * (x_0^2 - x_1)^2 + 2 * (x_0 - 1)^2 + 40
\end{equation*}
с помощью сервиса WolframAlpha:
\begin{equation*}
min(f(x)) = 40,\quad (x_0, x_1) = (1, 1)
\end{equation*}
\begin{center}
\begin{minipage}{1\linewidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{plt.png}
\captionof{figure}{График функции $f(x)$}
\end{minipage}
\end{center}
\subsection{Метод штрафных функций.}
Идея метода заключается в сведении задачи на условный минимум к решению последовательности задач поиска безусловного минимума вспомогательной функции:
\begin{equation}
F(x, r^k) = f(x) + P(x, r^k) \rightarrow \min_{x \in R^n},
\end{equation}
где $P(x, r^k)$ - штрафная функция, $r^k$ - параметр штрафа, задаваемый на каждой k- й итерации. Это связано с возможностью применения эффективных и надежных методов поиска безусловного экстремума,
\subsection{Метод барьерных функций.}
Идея метода заключается в сведении задачи на условный минимум к решению последовательности задач поиска безусловного минимума вспомогательной функции:
\begin{equation}
F(x, r^k) = f(x) + P(x, r^k) \rightarrow \min_{x \in R^n},
\end{equation}
где $P(x, r^k)$ - штрафная функция, $r^k$ - параметр штрафа. Используется обратная штрафная функция $P(x, r^k) = -r^k \sum_{j=1}^m \frac{1}{g_i(x)}$.
\subsection{Метод модифицированных функций Лагранжа.}
Стратегия аналогична используемой в методе внешних штрафов, только штрафная функция добавляется не к целевой функции, а к классической функции Лагранжа. В результате задача на условный минимум сводится к решению последовательности задач поиска безусловного минимума модифицированной функции Лагранжа:
\begin{multline}
L(x, \lambda ^k, \mu ^k, r^k) = f(x) + \sum_{j=1}^l \lambda_j^k g_j(x) + \frac{r^k}{2} \sum_{j=1}^{l} g_j^2(x) + \\ \frac{1}{2r^k} \sum_{j=l+1}^{m} (max^2(0, \mu_j^k + r^k g_j(x)) - \mu^2)
\end{multline}
где $\lambda ^k$ - векторы множителей Лагранжа; $r^l$ - параметр штрафа; k - номер итерации.
\subsection{Метод проекции градиента.}
Стратегия поиска решения задачи учитывает тот факт, что решение $x^*$ может лежать как внутри, так и на границе множества допустимых решений.
Для определения приближенного решения $x^*$ строится последовательность точек
\begin{equation}
\{x^*\}: x^{k+1} = x^k + \delta x^k, \quad k=1,..,
\end{equation}
где приращение $\delta x^k$ определяется в каждой точке $x^k$ в зависимости от того, где ведется поиск – внутри или на границе множества допустимых решений.
\newpage
\section{Практическая реализация}
Все методы были реализованы на языке программирования \textbf{Python}.
\textbf{Листинг 1.} Метод штрафных функций.
\begin{minted}[frame=single, framesep=10pt, fontsize = \footnotesize, linenos=false, breaklines]{python}
def p(x, r):
return r/2 * (max(0, (x[0] ** 2 + x[1] ** 2 - 10)) ** 2 + max(0, (-x[0]))** 2 + max(0, -x[1]) ** 2)
def penalty_out_methods(f, x0, r0, c=10, e=10**-8, max_iter=10):
r = r0
k = 0
while k < max_iter:
k += 1
help_f = lambda x: f(x) + p(x, r)
search_res = optimize.minimize(help_f, x0, method='CG')
x0 = search_res.x
res_p = p(x0, r)
if res_p <= e:
break
r *= c
return [k, x0, f(x0)]
\end{minted}
\textbf{Листинг 2.} Метод барьерных функий.
\begin{minted}[frame=single, framesep=10pt, fontsize = \footnotesize, linenos=false, breaklines]{python}
def p_in(x, r):
return -r*(1/(x[0] ** 2 + x[1] ** 2 - 10) - 1/x[0] - 1/x[1])
def penalty_in_method(f, x0, r0, c=10, e=10**-8, max_iter=100):
r = r0
x = x0
k = 0
while k < max_iter:
k += 1
help_f = lambda x: f(x) + p_in(x, r)
search_res = optimize.minimize(help_f, x, method='CG')
x = search_res.x
res_p = p_in(x, r)
if res_p < e:
break
r /= c
return [k, x, f(x)]
\end{minted}
\textbf{Листинг 3.} Метод модифицированных функций Лагранжа.
\begin{minted}[frame=single, framesep=10pt, fontsize = \footnotesize, linenos=false, breaklines]{python}
def lagrange(f, x0, r0=1, c=3, e=10 ** -8, max_iter=1000):
g = g_array()
r = r0
u = np.random.random(len(g))
x = x0
k = 0
while k < max_iter:
k += 1
l = lambda x: f(x) + 1 / (2 * r) * sum([max([0, u[i] + r * gf(x)]) ** 2 - u[i] ** 2 for i, gf in enumerate(g)])
search_res = optimize.minimize(l, x, method='CG')
next_x = search_res.x
x = next_x
p = 0.5 * sum([max([0, u[i] + r * gf(x)]) ** 2 - u[i] ** 2 for i, gf
in enumerate(g)]) / r
if p <= e:
return [k, x, f(x)]
r *= c
u = [max(0, u[i] + r * gf(x)) for i, gf in enumerate(g)]
return [k, x, f(x)]
\end{minted}
\textbf{Листинг 4.} Комбинированный метод штрафных и барьерных функций.
\begin{minted}[frame=single, framesep=10pt, fontsize = \footnotesize, linenos=false, breaklines]{python}
def penalty_barrier(f, x, e=10 ** -8, max_iter=1000):
r_in = 0.5
r_out = 1
c = 10
k = 0
while k < max_iter:
k += 1
combined = lambda x: f(x) + p_out(x, r_out) + p_in(x, r_in)
x = optimize.minimize(combined, x, method='CG').x
if (p_out(x, r_out) + p_in(x, r_in)) <= e:
break
r_in /= c
r_out *= c
return [k, x, f(x)]
\end{minted}
\textbf{Листинг 5.} Метод проекции градиента.
\begin{minted}[frame=single, framesep=10pt, fontsize = \footnotesize, linenos=false, breaklines]{python}
def gradient(f, x0, e=10 ** -8, max_iter=100):
x = x0
k = 0
case = 0
deltax = 0.0001
g = g_array()
dg = g_der()
gradf = grad(x)
id = np.eye(3)
np.delete(id, 2)
while k < max_iter:
for gf in g:
if -e <= gf(x) and gf(x) <= 0:
case = 1
break
if case:
gf = gradf(x)
A = dg(x)
if gf == 0:
la = np.matmul(np.matmul(inv(np.matmul(dg(x), A.transpose())), A),
np.array([gradf(x).tolist()])
.transpose())
.transpose()
.reshape(-1)
if la <= 0:
return [k, x, f(x)]
max_la = 0
max_i = 0
for i, elem in enumerate(la):
if elem < 0:
max_la = min([max_la, elem])
max_i = i
np.delete(A, max_i)
else:
deltax = - inv(id - np.matmul(A.transpose(), np.matmul(A, A.transpose())))
if deltax < e:
la = np.matmul(np.matmul(inv(np.matmul(dg(x), A.transpose())), A), np.array([gradf(x).tolist()])
.transpose())
.transpose()
.reshape(-1)
if la <= 0:
return [k, x, f(x)]
max_la = 0
max_i = 0
for i, elem in enumerate(la):
if elem < 0:
max_la = min([max_la, elem])
max_i = i
np.delete(A, max_i)
helper = lambda alpha: x + alpha * deltax
alpha = optimize.minimize(helper, x, 'CG')
x = x + alpha * deltax
return [k, x, f(x)]
\end{minted}
\newpage
\section{Результаты.}
При последовательном запуске всех алгоритмов со следующими параметрами $\epsilon = 10^{-8}$ были получены следующие результаты:
\textbf{Листинг 6.} Результаты выполнения программ.
\begin{minted}[frame=single, framesep=10pt, fontsize = \footnotesize, linenos=false, breaklines]{text}
Метод штрафных функций: [1, array([1.00000329, 1.00000666]), 40.000000000022816]
Метод внутренних штрафов[10, array([0.99999609, 0.99999217]), 40.00000000003059]
Метод Лагранжа: [1, array([0.99999985, 0.9999997 ]), 40.00000000000004]
Проекция градиента: [8, array([0.99999276, 0.99998549]), 40.000000000105025]
Комбинированный метод штрафных и барьерных функций: [10, array([1.00000117, 1.00000236]), 40.00000000000279]
\end{minted}
Все результаты с небольшой погрешностью совпадают с результатами полученными с помощью сервиса WolframAlpha.com в пункте 3.
\end{document}