It is just an empty TeX file Write your code here TEX encoding UTF-8 U

  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  9
 10
 11
 12
 13
 14
 15
 16
 17
 18
 19
 20
 21
 22
 23
 24
 25
 26
 27
 28
 29
 30
 31
 32
 33
 34
 35
 36
 37
 38
 39
 40
 41
 42
 43
 44
 45
 46
 47
 48
 49
 50
 51
 52
 53
 54
 55
 56
 57
 58
 59
 60
 61
 62
 63
 64
 65
 66
 67
 68
 69
 70
 71
 72
 73
 74
 75
 76
 77
 78
 79
 80
 81
 82
 83
 84
 85
 86
 87
 88
 89
 90
 91
 92
 93
 94
 95
 96
 97
 98
 99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
%% It is just an empty TeX file.
%% Write your code here.
% !TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[a4paper, 12pt]{article} % use "amsart" instead of "article" for AMSLaTeX format
\usepackage[left=20mm, top=15mm, right=10mm, bottom=15mm]{geometry}
\usepackage[parfill]{parskip} % Activate to begin paragraphs with an empty line rather than an indent
\usepackage{graphicx} % Use pdf, png, jpg, or eps§ with pdflatex; use eps in DVI mode
\usepackage[14pt]{extsizes}
\usepackage{setspace,amsmath}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{ dsfont }
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[unicode]{hyperref}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{color}
\usepackage{minted}
\usepackage{caption}
\usepackage{array}
\newcolumntype{P}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1}}
\usepackage{cmap} % Улучшенный поиск русских слов в полученном pdf-файле
\usepackage[T2A]{fontenc} % Поддержка русских букв
\usepackage[utf8]{inputenc} % Кодировка utf8
\usepackage[english, russian]{babel} % Языки: русский, английский
% TeX will automatically convert eps --> pdf in pdflatex
\usepackage{amssymb}
\begin{document}
\begin{titlepage}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
\end{center}
\vfill
\centerline{\large{Лабораторная работа №6. Вариант 6.}}
\centerline{\large{«Методы решения задач линейного и}}
\centerline{\large{линейного целочисленного программирования»}}
\centerline{\large{по курсу}}
\centerline{\large{«Методы оптимизации»}}
\vfill
Студент группы ИУ9-81 \hfill Климов С.В.
Преподаватель \hfill Каганов Ю.T.
\vfill
\centerline{Москва, 2019}
\clearpage
\end{titlepage}
\newpage
\setcounter{page}{2}
\tableofcontents
\newpage
\section{Цель работы}
\begin{enumerate}
\item Изучение симплекс-метода линейного программирования и методов линейного целочисленного программирования.
\item Разработка программы реализации алгоритма симплекс-метода линейного программирования и алгоритмов линейного целочисленного программирования.
\item Решение задачи линейного и линейного целочисленного программирования.
\end{enumerate}
\newpage
\section{Постановка задачи}
\textbf {Дано}: 6 Вариант. Функция:
\begin{equation}
f(x) = 3x_1 + 4x_2 - 10x_3.
\end{equation}
Функции ограничений:
\begin{equation}
\begin{cases}
2x_1 + x_2 + 3x_3 = 24 \\
3 x_1 + x_2 + x_4 = 12 \\
x_1, ..., x_4 \geq 0
\end{cases}
\end{equation}
\subsection{Задача 6.1}
\begin{enumerate}
\item Найти условный максимум для задачи линейного программирования симплекс-методом Дж. Данцига.
\item Реализовать алгоритмы с помощью языка программирования высокого уровня.
\end{enumerate}
\subsection{Задача 6.2}
\begin{enumerate}
\item Найти условный максимум для задачи линейного целочисленного программирования методом «ветвей и границ».
\item Реализовать алгоритмы с помощью языка программирования высокого уровня.
\end{enumerate}
\newpage
\section{Исследование}
Найдем условный максимум для функции:
\begin{equation}
f(x) = 3x_1 + 4x_2 - 10x_3
\end{equation}
с помощью пакета scipy:
\begin{equation}
max(f(x)) = 8,\quad (x_1, x_2, x_3, x_4) = (0, 12, 4, 0)
\end{equation}
\subsection{Задача 6.1}
\subsubsection{Симлекс-метод}
Это алгоритм решения оптимизационной задачи линейного программирования путём перебора вершин выпуклого многогранника в многомерном пространстве.
Сущность метода: построение базисных решений, на которых монотонно убывает линейный функционал, до ситуации, когда выполняются необходимые условия локальной оптимальности.
\subsection{Задача 6.2}
\subsubsection{Метод ветвей и границ}
Общий алгоритмический метод для нахождения оптимальных решений различных задач оптимизации, особенно дискретной и комбинаторной оптимизации. По существу, метод является вариацией полного перебора с отсевом подмножеств допустимых решений, заведомо не содержащих оптимальных решений.
Общая идея метода может быть описана на примере поиска минимума функции $f(x)$ на множестве допустимых значений переменной $x$. Функция $f$ и переменная $x$ могут быть произвольной природы. Для метода ветвей и границ необходимы две процедуры: ветвление и нахождение оценок (границ). При этом накладывается условие целочисленности переменных.
\newpage
\section{Практическая реализация}
Все методы были реализованы на языке программирования \textbf{Python}.
\textbf{Листинг 1.} Симлекс-метод.
\begin{minted}[frame=single, framesep=10pt, fontsize = \footnotesize, linenos=true, breaklines]{python}
def simplex(A, c, b, b_idx, eps=10 ** -3):
if b_idx is None:
return None, None
k = 0
max_iters = A.shape[0] * 5
n_idx = [i for i in range(A.shape[1]) if i not in b_idx]
def get_cb():
return c[:, b_idx]
def get_cn():
return c[:, n_idx]
def get_B():
return A[:, b_idx]
def get_N():
return A[:, n_idx]
while k <= max_iters:
k += 1
Binv = np.linalg.inv(get_B())
N = get_N()
xb = np.matmul(Binv, b).reshape(-1)
cb = get_cb()
cn = get_cn()
gamma = cb @ Binv
z = gamma @ N
d = z - cn
mind = min([(i, v) for i, v in enumerate(d[0].tolist())], key=operator.itemgetter(1))
q_ind = mind[0]
q = n_idx[q_ind]
mind = mind[1]
if mind >= eps and np.min(xb) >= 0:
x = np.zeros(A.shape[1])
x[b_idx] = xb.reshape(-1)
return x, k
alphq = (Binv @ A[:, q]).reshape(-1)
beta = xb.reshape(-1)
filtered = list(filter(lambda x: x[1][1] > 0, [(i, v) for i, v in enumerate(zip(beta, alphq))]))
if len(filtered) == 0:
return None, None
p_ind = min(filtered, key=lambda v: v[1][0] / v[1][1])[0]
p = b_idx[p_ind]
b_idx[p_ind] = q
n_idx[q_ind] = p
return None, None
def get_basis(A, c, b):
m = A.shape[0]
n = A.shape[1]
A = A.tolist()
c = c.tolist()
M = 1000
for i in range(m):
added = [0] * m
added[i] = 1
A[i] += added
c[0] += [-M] * m
A = np.array(A)
c = np.array(c)
basis = simplex(A, c, b, [i + n for i in range(m)])[0]
if basis is None:
return basis
return list(map(operator.itemgetter(0), filter(lambda x: x[1] != 0, enumerate(basis))))
def two_step_simplex(A, b, c):
basis = get_basis(A, c, b)
return simplex(A, c, b, basis)
\end{minted}
\textbf{Листинг 2.} Метод ветвей и границ.
\begin{minted}[frame=single, framesep=10pt, fontsize = \footnotesize, linenos=true, breaklines]{python}
def is_int(x):
return np.allclose(x - np.round(x), np.zeros(x.shape[0]))
def branching(A, b, idx, x):
import math
newA1 = np.copy(A)
newb1 = np.copy(b)
newcons = np.zeros((1, newA1.shape[1]))
newcons[0][idx] = 1
newA1 = np.concatenate((newA1, newcons))
newb1 = np.concatenate((newb1, np.array([[math.floor(x[idx])]])))
newA2 = np.copy(A)
newb2 = np.copy(b)
newcons = np.zeros((1, newA2.shape[1]))
newcons[0][idx] = -1
newA2 = np.concatenate((newA2, newcons))
newb2 = np.concatenate((newb2, np.array([[-(math.floor(x[idx]) + 1)]])))
return newA1, newb1, newA2, newb2
def lab62():
import scipy.optimize
two_step_simplex = lambda A, b, c: scipy.optimize.linprog(-c.reshape(-1), A_eq=A, b_eq=b.reshape(-1)).x
A = np.array([
[2, 1, 3, 0],
[3, 1, 0, 1]
])
c = np.array([[3, 4, -10, 0]])
b = np.array([
[24],
[12]
])
k = 0
f = lambda x: (x @ c.transpose())[0]
x = two_step_simplex(A, b, c)
if np.isnan(x).any():
return None, None, None
f_val = f(x)
if is_int(x):
return x, f_val, 1
q = [(f_val, x, A, b)]
xs = []
max_iters = 30
while q:
fs = [x[0] for x in q]
maxind = max(enumerate(fs))[0]
new_f, new_x, new_a, new_b = q.pop(maxind)
filtered = list(filter(lambda v: not abs(v[1] - round(v[1])) <= 10 ** -8, enumerate(new_x)))
if not filtered:
continue
idx = max(filtered, key=operator.itemgetter(0))[0]
A1, b1, A2, b2 = branching(new_a, new_b, idx, new_x)
x = two_step_simplex(A1, b1, c)
if not np.isnan(x).any():
if is_int(x):
xs.append(x)
q.append((f(x), x, A, b))
x = two_step_simplex(A2, b2, c)
if not np.isnan(x).any():
if is_int(x):
xs.append(x)
q.append((f(x), x, A, b))
if k > max_iters:
break
k += 1
if len(xs) == 0:
return None, None, k
maxx = max(xs, key=f)
return maxx, f(maxx), k
\end{minted}
\newpage
\section{Результаты.}
Программы, представленные в \textbf{Листинге 1} и \textbf{Листинге 2} дали следующие результаты:
\textbf{Листинг 5.} Результаты выполнения программ.
\begin{minted}[frame=single, framesep=10pt, fontsize = \footnotesize, linenos=true, breaklines]{text}
Симплекс метод:
k = 3
x = (0,12,4,0)
f(x) = 8
Метод ветвей и границ:
k = 1
x = (0,12,4,0)
f(x) = 8
\end{minted}
\end{document}